Teorema del Residuo

Luego de plantearse el teorema integral de Cuchy, los matemáticos se encontraron con el resultado del nuevo teorema del residuo. Es un componente que, a día de hoy, es de las piezas fundamentales para comprender la teoría matemática del análisis complejo.

Su campo de aplicación consiste en ser un método resolutivo para los polinomios, expresiones algebraicas ordenadas por variables, constantes y exponentes. Como en cualquier otro planteamiento de problemas, los polinomios pueden sumarse, restarse y dividirse.

El teorema del residuo es muy importante al momento de dividir polinomios, continúa leyendo para conocer más detalles.

Tabla de Contenido
  1. ¿Qué es el teorema del resto?
    1. Método 1: División larga
    2. Método 2: División sintética
    3. Método 3: uso del teorema del residuo
  2. Teorema del resto y del factor
  3. Ejercicio para practicar el teorema del resto

¿Qué es el teorema del resto?

La división de polinomios es todo un tema que se encuentra en gran cantidad de problemas algebraicos muy complejos. Una de estas operaciones que puede llegar a interesarnos es el método específico para dividir un polinomio entre un binomio.

Como es de esperarse, en estas situaciones tan específicas en donde un polinomio es dividido entre un binomio, existirá un residuo.

El teorema del residuo propone que cuando un polinomio de x, f (x) se divida entre (x-a), el residuo será f (a). Tomando en cuenta que cualquier número puede llegar a equivaler un número real o complejo.

Es decir, para encontrar el residuo correspondiente al polinomio que se divide entre un binomio se establece que:

  • El valor de x siempre será igual al valor de a, o f(x) = f(a).

Lo que permite inferir que al obtener los valores de x, se conocerá el valor igual a la cantidad representativa del valor de a.

Encontraremos también que existen diferentes métodos de aplicación para el teorema del residuo en distintos problemas. Para dejar el punto de los métodos muy claro, debe partirse desde el siguiente ejemplo:

Interesante:  ¿En qué consiste el teorema del residuo y el factor?

Se considera que el polinomio x ² – 8 x + 6, es posible identificarlo con una función polinomial f(x) = x ² -8 x + 6. ¿Cómo puede proceder a dividirse?

Método 1: División larga

x ² – 8 x + 6     x-2

- x ² - -2x        x-6

-----------------------------

-6x + 6

-+6-+12

-----------------------------

-6

Como resultado de la anterior operación, se ha calculado que el residuo resultante es -6.

Método 2: División sintética

2   1   -8     6

2   -12

1   -6    -6

A través de este método también se ha obtenido como residuo la cifra -6.

Método 3: uso del teorema del residuo

  • f ( x ) = x ² – 8 x + 6 dividido entre x – 2

Para estas situaciones, cuando se desea calcular el valor de x, debe hacerse el procedimiento:

x – 2 = 0

x = 0

Por medio del teorema del residuo, ya se puede inferir que x = a. De esta forma se puede reemplazar en la operación en el polinomio al dividir:

2 ² – 8 (2) + 6, donde debe resolverse 4 – 16 + 6 = -6

Lo que sucede con este tercer método es que el residuo obtenido también se interpreta como -6. Exactamente igual como en la aplicación de los dos métodos anteriores que surgen al dividir un polinomio entre un binomio.

Teorema del resto y del factor

Tomando como punto de inicio el teorema del resto y la definición de raíz (o cero) de un polinomio, se deduce el teorema. Se tiene entonces que el teorema del factor está compuesto por la siguiente definición:

  • un polinomio dado P(x) será divisible por otro polinomio de orden (x - a) sólo cuando P(a) = 0. Bajo estas circunstancias, significa que a es una raíz o cero del polinomio P(x).

Con lo anterior, según lo que establece el teorema del residuo, quiere decir que cuando un polinomio es divisible por otro:

  • El resto de la división será nula porque P(a) = 0.
Interesante:  Teorema de Green

Por ejemplo, cuando se tiene un específico polinomio como:

  • P(x) = x ² + 2x – 8

El polinomio de referencia será divisible por el binomio (x – 2) dado a que P(2) = 0 :

  • P (2) = 2 ² + 2 2 – 8

= 4 + 4 – 8

= 0

Como en este caso x = 2 anula el polinomio P(x), se afirma que x = 2 es referente a una raíz de dicho polinomio.

Además, ya que P(2) = 0, se puede inferir que el resto de la división genera como residuo un cero.

  • X ²⸏ +⸏ 2⸏x –⸏ 8⸐ = 0

x – 2

Ejercicio para practicar el teorema del resto

La mejor forma de simplificar todo lo leído hasta este punto es haciendo uso de la práctica constante para asimilar los conceptos. Por ello hemos realizado para ti un ejercicio que podrás resolver por cuenta propia:

Haciendo uso del teorema del resto, se sabe el resto de la división polinominal P(x) / Q(x). Siendo estos los polinomios que intervienen en el problema:

  • P(x) = x ³ + 4x ² - 2x + 1
  • Q (x) = x – 2

Solución:

El polinomio divisor estará compuesto sólo por un término de primer grado junto al correspondiente término independiente. Adicionalmente, debe tomarse en cuenta que el coeficiente del término de primer grado es equivalente a 1.

Aplicando el teorema del resto, sólo debe evaluarse el polinomio dividendo el término independiente del polinomio divisor. Para ello será necesario realizar el correspondiente cambio de signo y proceder a calcular P(2):

  • P(x) = 2 ³ + 4   2 ² - 2 · 2 + 1

= 8 + 4 · 4 – 2 · 2 + 1

= 8 + 16 – 4 + 1

= 21

El resto de la división efectuada entre los polinomios da como resultado 21.

Esperamos te haya sido muy útil esta información y que la puedas poner en práctica desde ya para fortalecer tus conocimientos. Te recordamos que la clave de las matemáticas está en repasar una y otra vez el método para dominar los resultados.

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