Teorema de límite central y sus propiedades

El teorema de límite central es usado a nivel estadístico para estudios probabilísticos en cualquier tipo de distribución. Su uso es casi obligatorio desde su creación en este campo, por lo que es importante comprender lo que expresa.

Tabla de Contenido
  1. ¿Qué es el teorema de límite central?
  2. Propiedades encontradas en el teorema de límite central
    1. Trabajo con muestras grandes
    2. Media muestral y media poblacional siempre son iguales
    3. Varianza de la distribución de la media muestral
    4. Diversidad de aplicación del teorema de límite central

¿Qué es el teorema de límite central?

Este teorema sostiene que, sin que importe la distribución, la suma de las variables generales tenderá a una distribución normal. Dicha distribución también es llamada gaussiana, nombre por el cual se reconoce de forma recurrente.

A su vez expresa que las variables mostradas no requieren ser de forma obligatoria normales. Por ello, se puede usar de cualquier tipo, lo que permitirá tener siempre la misma distribución.

El teorema de límite central también muestra que se necesita que el tamaño de la muestra sea bastante grande. Entonces, al sumar las variables, se da el cumplimento del teorema si la distribución es igual a una del teorema de gauss.

Si en el cálculo se trabaja con la media, se conoce como válida la aplicación del teorema. Esto es porque se da la suma de los datos y el resultado se divide entre la constante.

La razón de que haya un número de variables grandes es porque, en definición, se muestra que n es infinito. Así, se contempla la siguiente fórmula en la que n tiende a ser infinito:

  • Zn=X-μσ/n.

Propiedades encontradas en el teorema de límite central

Para el cumplimiento de la formulación que da el teorema, deben darse algunas propiedades que permiten su validez. Las mismas son las siguientes:

Trabajo con muestras grandes

Esta toma de medidas grandes hace posible que la suma de las medidas muestrales sea igual a la distribución normal. Dentro del teorema se dice que esto se cumple cuando la suma de las muestras es mayor a 30.

Entonces, cuando se cumple con esa cantidad, la distribución de la media irá dirigida a una distribución gaussiana. Es importante que es una condición válida para cualquier distribución trabajada con el teorema de límite central.

Media muestral y media poblacional siempre son iguales

Esta propiedad elemental es de suma importancia para comprender el teorema. Sostiene que la media de la distribución de la media muestral da como resultado la media de la población total.

Es indispensable esta premisa para que el teorema de límite central sea funcional.

Varianza de la distribución de la media muestral

Esta varianza de encuentra con la fórmula:

  • σ²/n.

Allí, σ² es conocida como la varianza de la población y n es el tamaño total tomado de la muestra.

Diversidad de aplicación del teorema de límite central

Este teorema cuenta con distintas aplicaciones, lo cual es posible según los factores que determinan la convergencia encontrada. Así, se sostiene que las variables encontradas en el estudio necesitan tener algunas condiciones.

Las mismas son que:

  • Tienen que ser independientes.
  • Tener una distribución similar entre ellas.
  • Presentar una media y varianza finita.

De esta manera, puede entenderse la diversidad encontrada en el teorema para su aplicación en Estadística.

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