Teorema de Varignon

Teorema de Varignon

El teorema de Varignon, en Mecánica, es un planteamiento que forma parte de los principios del cálculo vectorial más elementales. También se le llega a conocer como el principio del momento, elementos de la física que permiten entender la realidad.

El teorema parte de establecer el momento como un producto de un sistema de fuerzas concurrentes determinado. Siendo esto igual a la suma total correspondiente a todos los momentos de las fuerzas aplicadas.

Quizás suene algo complejo en primera instancia, sin embargo, hemos desarrollado todas las explicaciones en el presente artículo para ti.

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Tabla de Contenido

    ¿Qué es el teorema de Varignon?

    El teorema de Varignon es resultado de las investigaciones y aplicaciones de la geometría euclidiana. Su definición establece que es posible formar un paralelogramo tomando como origen los puntos medios de un cuadrilátero.

    Se afirma que, cuando dicha figura es plana y convexa, el paralelogramo formado adquiere un área equivalente a la mitad del cuadrilátero original.

    Las aplicaciones de este teorema han llegado más allá sobre los cálculos de polígonos de cuatro lados. Dando que al momento de unir los puntos medios para generar el polígono derivado, se especifica que no tiene lados paralelos ni simétricos.

    Sin embargo, si se toma en cuenta la siguiente situación, deberán tomarse otras consideraciones:

    • Se tiene un polígono de tipo 2n lados y vértices, A1, A2, A3, A2n.

    Ante la situación anterior, se considera que AiAi+1 es paralelo y simétrico a Ai+nAi+n+2, cuando se cumple el teorema. Para el escenario de Bj, es el punto medio del lado AjAj+1, donde el polígono será B1 B2 B3…B2n, comprendido de lados paralelos.

    También será posible aplicar el enunciado del teorema de Varignon sobre todos los cuadriláteros que no sean planos. Ante este tipo de problemas, se suele modificar la prueba euclidiana.

    Cabe mencionar otro procedimiento que es aplicable a través de una demostración vectorial. En estos escenarios es aplicable cuando se trabaja con dimensiones mayores.

    Para los octaedros, los centroides de las caras pueden ser considerados como simétricos a los puntos medios de los lados del cuadrilátero. En este orden de ideas, cuando se une cada punto de los centroides, es posible obtener un paralelepípedo.

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    Es así como se puede afirmar que todas las propiedades aplicadas dentro del teorema de Varignon, son variaciones del teorema de tales.

    Paralelogramo de Varignon

    Un paralelogramo de varignom es una figura que se forma partiendo de los puntos en posición media de un cuadrilátero. Al momento de dibujar los diagonales que atraviesan el paralelogramo, el centro de gravedad pasa a ser este elemento del cuadrilátero.

    Se considera que la figura final posee un área proporcional a la mitad del área de la figura original. No obstante, debe cumplir con las siguientes propiedades destacables:

    • El perímetro del paralelogramo siempre será igual a la suma del valor correspondiente a las diagonales del cuadrilátero.
    • La forma final del paralelogramo debe ajustarse a la de un rombo. Esto se cumplirá siempre que las diagonales del cuadrilátero tengan un mismo valor.
    • Desde el momento en que el cuadrilátero tenga diagonales perpendiculares, la figura del paralelogramo será un rectángulo.

    Historia del teorema de Varignon

    Para entender mejor el teorema de Varignon, hay que explorar los inicios de su historia hasta la actualidad. Ya que, a pesar de ser bautizado con este nombre, el primer matemático en plantearlo fue Simon Stevin.

    Tal propuesta ocurriría a principios del siglo XVII, pero para esta entonces no obtendría el mérito necesario. Años más tarde, el matemático francés Pierre Varignon sería quien tomara esta teoría y daría inicio a sus formulaciones sobre el principio del momento.

    El trabajo expandido por Varignon sería publicado dentro de la póstuma Nueva mecánica o estática. Documento en donde se incluiría adicionalmente la demostración del principio de composición de las fuerzas.

    Sin embargo, en estos primeros inicios del procedimiento, se tomaría como algo inexacto pero con mucho potencial por explorar. De igual forma no hay que desacreditar la primera representación de las fuerzas a través de un polígono.

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    Durante aquella época no se consideraba que tanto el enunciado como el cálculo vectorial eran términos relacionados. Se sostenía que las fuerzas eran entelequias abstractas que conllevan un análisis muy difícil de realizar, debido a la semántica y simbología complicada.

    No obstante, se mantenían en aplicación los métodos geométricos muy útiles y prácticos de utilizar. Pero la dificultad era tan complicada que solo pocos matemáticos eran capaces de resolver los problemas.

    Aplicación del teorema de Varignon en mecánica

    La propuesta realizada para sentar las bases del teorema de Varignon dio lugar años más tarde a su validez dentro de la mecánica. Según establecía el matemático, la primera denominación que obtuvo el teorema era principio del momento.

    Su primera definición fue resultante de un sistema de fuerzas concurrentes. Dando lugar a la equivalencia entre la suma de todos los momentos de las fuerzas aplicadas.

    Es decir, el momento con respecto a un punto en el espacio de la figura, es igual a la suma de los momentos. Correspondientes a cada vector que componga en su totalidad al sistema, siempre respecto al mismo punto.

    Demostración del teorema de Varignon en Mecánica

    Si te ha parecido algo complejo todo lo anterior, no te preocupes ya que podrás apoyar tus conocimientos con el siguiente caso práctico:

    Se estima que un número n de fuerzas concurrentes F1, F2, F3 … , Fn, estarán aplicados sobre puntos específicos A1, A2, A3, … An. El momento que resulta de la relación con respecto a un punto O da la siguiente fórmula:

    • MO=iOAiFi

    Cuando las rectas de soporte pasan por medio del punto de concurrencia P. Deberá cumplir con el siguiente enunciado ya que se trata de vectores paralelos:

    • PAiFi=0

    Entonces, para cada momento individual:

    • OAiFi=OP+PAiFi=OPFi

    Y para hallar la resultante:

    • MO=iOPFi=OPiFi=OPF

    La forma en que se apliquen las fórmulas resultantes para hallar el momento requiere que todas las fuerzas atraviesen el punto de concurrencia. Se obtendrán las resultantes de cada fuerza junto a su momento con respecto al punto inicial O.

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