Teorema del Polinomio de Taylor

TEOREMA DE TAYLOR

Uno de los elementos más conocidos en las funciones polinómicas es el teorema de Taylor. Esta herramienta es mayormente vista en matemáticas y física, lo cual hace mayor su importancia a nivel profesional.

Estudiar el comportamiento de una función es esencial para comprender sus componentes. Desde las más sencillas hasta las más complicadas, se destaca que todas tienen un procedimiento específico.

Gracias a su existencia, pueden tenerse aproximaciones polinómicas en base a cierto entorno. También se destaca un punto en el que la función dada sea diferenciable desde tu naturaleza.

Tabla de Contenido
  1. ¿Qué es el teorema de Taylor?
  2. Origen del teorema de Taylor
  3. ¿Por qué es usado el teorema de Taylor?
  4. Aplicaciones generales del teorema
    1. Aplicación a nivel financiero
    2. Aplicaciones dentro de la Ingeniería
    3. Aplicación en la Física
    4. Otras aplicaciones encontradas

¿Qué es el teorema de Taylor?

Este teorema es una aproximación polinómica de una función x veces derivable de un punto exacto. De esto se entiende que es una suma infinita derivadas locales que son revisadas en un punto en específico.

Por tanto, siempre que vaya aumentando el grado del polinomio, se acercará más precisamente a la función dada. Esto siempre irá frente y referente al punto que se ha estudiado en el proceso del cálculo.

El resultado del cálculo diferencial es lo que se conoce como el teorema de Taylor. Todo es para poder demostrar que cualquier función puede aproximarse sumando potencias de manera infinita.

En el momento que se presenta de manera gráfica, se pueden encontrar distintos niveles de aproximación. Las curvas tienen que ser diferenciadas, dando como resultado la interpretación de las gráficas.

Usando distintas aproximaciones, se puede comprobar qué tanto la función puede llegar a aproximarse correctamente. Las derivadas siempre serán indispensables para el momento de cálculo.

Origen del teorema de Taylor

Desde que se conoce la matemática, se busca sumar x cantidad de números para tener un resultado finito. Con el tiempo, fueron apareciendo distintas soluciones para lograrlo que se comprobaron de manera científica.

Arquímedes demostró que un número infinito de subdivisiones geométricas progresivas, pueden dar un resultado trigonométrico completamente finito. Así fue como en el siglo XIV aparecen las series de Taylor, siendo el matemático Brook Taylor quien las presentó.

Este método es muy general, teniendo como fin crear series aplicadas a cualquier función que pueda existir. Para 1715 se desarrolló otra parte de la investigación que se denominó como cálculo de las diferencias infinitas.

Según el origen del teorema de Taylor, las aplicaciones se dieron para conocer el movimiento de una cuerda vibrante. Todo esto fue altamente reconocido, haciendo después la creación en fórmula del teorema.

Para 1772 fue reconocida por su relevancia a nivel matemático y comenzó a comprobarse y practicarse. En 1775 Taylor se esforzó aún más para perfeccionar el teorema y que no tuviese fallas al aplicarse.

Aunque actualmente no quedan registros originales de esto, los escritos matemáticos siguientes establecen algunas fallas. Sin embargo, esto no hizo que las investigaciones y aplicaciones fusen mejoradas en el sistema del teorema de Taylor.

¿Por qué es usado el teorema de Taylor?

Desde su origen, se buscaba que el teorema facilitara todo el trabajo que requieren las funciones. Gracias a ello se destaca que es más sencillo trabajar con él que con la función propiamente.

Esto es porque es más sencillo resolver, integrar y derivar con el polinomio. Se muestra así porque cuando se usan las funciones, la operación se complica y requiere más tiempo y procesos.

Si se tiene una operación sencilla y todo es rápido, no se vuelve indispensable usar el teorema de Taylor. El resultado en estos casos es inmediato, dando así una resolución inmediata una vez que se busca resolver.

Sin embargo, es necesario recalcar que no siempre se da una situación tan sencilla, por lo que requiere el teorema.

Aplicaciones generales del teorema

Desde su creación, el teorema ha tenido una función específica y clara: simplificar operaciones. Esto, dentro de las matemáticas, ha permitido que:

  • Se puedan aproximar los valores.
  • Dar resolución a ciertas indeterminaciones encontradas en el cálculo de los límites.
  • Evitar las desigualdades.
  • Hallar algunos extremos relativos de funciones.
  • Poder realizar el cálculo de la exponencial de una matriz.
  • Se dé uso al método de Newton para encontrar ceros de funciones.

Aunque todo esto es de gran importancia, el teorema de Taylor logró otras cosas en otras ramas científicas. Además, también es posible notarlo en las Ciencias Sociales.

Aplicación a nivel financiero

Cuando se encuentran activos donde se expresa el precio como función lineal, se usa este teorema. Los bonos financieros hacen posible que se acceda a las empresas en forma de financiación.

El precio de dicho bono es calculado por medio de una fórmula matemática dependiente del tipo de interés. Si el interés sufre variaciones diversas, el teorema de Taylor es usado de grado 2.

De esta manera, se puede encontrar una aproximación al precio medio que se requiere en la operación. Gracias al procedimiento, los resultados pueden ser más precisos y concretos dentro de las finanzas.

Aplicaciones dentro de la Ingeniería

Cuando se está estudiando las deformaciones de los cuerpos rígidos, este teorema es de gran ayuda. Si a un cuerpo fijo se le aplica fuerza exterior, este pasará a deformarse y los efectos son llamados corrimientos.

Los mismos son experimentados entre 2 puntos. Por tanto, al desplazamiento de uno de los puntos alrededor del otro puede ser descrito como teorema de Taylor.

Aplicación en la Física

Dentro de la física, el teorema es usado para realizar aplicaciones de varios casos a la vez. Esto casi siempre ocurre al momento de comparar alguna Ley de la física con otra.

Otras aplicaciones encontradas

En la programación informática este teorema es indispensable para que se implementen funciones. Lo mismo ocurre en la medicina o meteorología, haciendo que todos los cálculos sean más precisos y sencillos.

Todas las operaciones con funciones, o las más complejas, se facilitan al instante con el teorema. La aplicación de esto es importante frente a las finanzas y la bolsa, pues el valor del precio es lineal.

Además, dicho valor depende de otras variables que son necesarias para su cálculo. Por ello, el teorema de Taylor es muy importante.

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