Teorema de Rouché - Frobenius

En esta página descubriremos qué es el teorema de Rouché Frobenius y cómo calcular el rango de una matriz con él. Además vas a encontrar ejemplos y ejercicios resueltos punto por punto con el teorema de Rouché-Frobenius.

¿Qué es el teorema de Rouché – Frobenius?

El teorema de Rouché-Frobenius es un procedimiento que nos facilita clasificar los sistemas de ecuaciones lineales. Es decir, el teorema de Rouché-Frobenius se utiliza para entender cuántas resoluciones tiene un sistema de ecuaciones sin obligación de resolverlo.

Hay 3 tipos de sistemas de ecuaciones:

• Sistema Coincidente Preciso (SCD): el sistema tiene una exclusiva satisfacción.
• Sistema Coincidente Impreciso (SCI): el sistema tiene infinitas resoluciones.
• Sistema Incompatible (SI): el sistema no es solucionable.

Además, el teorema de Rouché-Frobenius además nos dejará después llevar a cabo la resolución de sistemas por la regla de Cramer.

Enunciado del teorema de Rouché-Frobenius

El teorema de Rouché-Frobenius dice que es la matriz formada por los coeficientes de las incógnitas de un sistema de ecuaciones. Y la matriz , o matriz ampliada, es la matriz formada por los coeficientes de las incógnitas de un sistema de ecuaciones y los términos independientes:

Una vez ya entendemos qué dice el teorema de Rouché-Frobenius, veremos cómo solucionar ejercicios del teorema de Rouché-Frobenius. Por eso ahora tienes 3 ejemplos: un ejercicio resuelto por medio de el teorema de cada tipo de sistema de ecuaciones.

Ejemplo de Sistema Coincidente Preciso (SCD)

Ejemplo de Sistema Coincidente Impreciso (SCI)

La matriz A y la matriz ampliada A’ del sistema son:

En este momento calculamos el rango de la matriz A. Para eso, observamos si el esencial de toda la matriz es diferente de 0:

El esencial de toda la matriz A proporciona 0, por lo cual no es de rango 3. Para ver si es de rango 2, debemos hallar una submatriz dentro de A cuyo esencial sea distinto de 0. Entre otras cosas el de la esquina superior izquierda:

Como la matriz tiene un escencial de 2×2 distinto de 0, la matriz A es de rango 2:

Una vez entendemos el rango de A, calculamos el rango de A’. El esencial de las 3 primeras columnas ya entendemos que proporciona 0, por eso probamos con los otros determinantes 3×3 posibles:

Todos los determinantes 3×3 de la matriz A’ son 0, por consiguiente, la matriz A’ tampoco va a ser de rango 3. No obstante, dentro sí que tiene determinantes de orden 2 diferentes de 0. Por ejemplo:

Por eso la matriz A’ va a ser de rango 2:

El rango de la matriz A es igual al rango de la matriz A’ pero estos son más chicos que el número de incógnitas del sistema (3). Entonces, según el teorema de Rouché-Frobenius hablamos de un Sistema Coincidente Indeterminado (SCI):

Ejemplo de Sistema Incompatible (SI)

La matriz A y la matriz ampliada A’ del sistema son:

En este momento calculamos el rango de la matriz A. Para eso, observamos si el esencial de toda la matriz es diferente de 0:

El esencial de toda la matriz A proporciona 0, por lo cual no es de rango 3. Para ver si es de rango 2, debemos hallar una submatriz dentro de A cuyo esencial sea distinto de 0. Entre otras cosas el de la esquina superior izquierda:

Como la matriz tiene un esencial de orden 2 distinto de 0, la matriz A es de rango 2:

Una vez entendemos el rango de A, calculamos el rango de A’. El esencial de las 3 primeras columnas ya entendemos que proporciona 0, por eso en este momento probamos, entre otras cosas, con el esencial de las 3 últimas columnas:

En cambio, la matriz A’ sí que tiene dentro un esencial cuyo resultado es diferente de 0, tal es así que la matriz A’ va a ser de rango 3:

Entonces, como el rango de la matriz A es más reducido que el rango de la matriz A’, deducimos desde el teorema de Rouché-Frobenius que hablamos de un Sistema Incompatible (SI):