Teorema de Moivre con ejemplos y ejercicios (explicación fácil)

Teorema de Moivre

El teorema de Moivre es muy importante en el análisis matemático porque con su aplicación se pueden calcular potencias encima de Números Complejos. Este teorema se aplica a procesos esenciales de álgebra, como la extracción de raíces y las potencias en números complejos.

El teorema permite simplificar las operaciones cuando se va a calcular la potencia de un número complejo. Además proporciona elementos necesarios que originan la definición de raíz compleja.

Tabla de Contenido

    ¿Qué es Teorema de Moivre?

    El reconocido matemático francés Abraham de Moivre fue el creador del enunciado de este teorema. Moivre nació en Champagne el 26 de mayo de 1667 y murió en Londres el 27 de noviembre de 1754.

    Dio a conocer dos asuntos muy importantes que fueron: el teorema y que pudo vaticinar mediante un cálculo matemático el día de su muerte. Lo que se cuenta referente a este aspecto es que observo que cada día dormía quince minutos más que la noche anterior.

    Con esto calculó que moriría el día que durmiera veinticuatro horas, lo que lo llevó a concluir que moriría 73 días después. Esto resultó ser el 27 de septiembre de 1754, tal cual sucedió.

    formulas de Moivre

    Para realizar el enunciado del teorema Moivre asoció la trigonometría con los números complejos. Lo cual hizo a través de las expresiones del coseno y del seno, además generó una especie de fórmula.

    Esta fórmula hace posible llevar un número complejo z a la potencia n, que es un número entero positivo igual o mayor a 1. La fórmula para el teorema de Moivre fue creada y nombrada por el propio Abraham de Moivre y es: (cos x + i sin x)n = cos(nx) + i sin(nx).

    La siguiente expresión que tiene la fórmula en algunos casos se puede simplificar “cos x + i sen x”. Para estos casos sólo se puede abreviar simplemente como cis x.

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    Origen del Teorema de Moivre

    La fórmula que se utiliza actualmente en el teorema de Moivre se encontró por primera vez en el libro llamado “Introduction a l’analyse infinitésimale” cuyo autor es Euler. Este libro fue publicado en el año 1748 donde se demostró para todos los números naturales n.

    La fórmula apareció de forma implícita por primera vez en un trabajo realizado por Abraham de Moivre en el año 1707. Este trabajo llevó por nombre las raíces n-ésimas de los números complejos donde se demostró que al escribir (cos x + i sin x)n = cos(nx) + i sin(nx).

    ¿Dónde aplicar la fórmula de Moivre?

    La fórmula se puede utilizar para hallar la potencia y las raíces enésimas de los números complejos. El cual se encuentre escrito en la forma polar para ello se utiliza la siguiente fórmula:

    z = r(cos Ɵ + i * sen Ɵ) entonces zn = rn(cos n*Ɵ + i * sen n*Ɵ)

    Cuando el número complejo se encuentra en forma binómica, primero se convierte en forma polar, donde r es el módulo. Para este caso, cuando n = 2, esto significa que z² = r² [cos 2(Ɵ) + i sen 2 (Ɵ)]. Cuando se tiene que n = 3, significa que z³ = z² * z. También puede ser z³ = r² [cos 2(Ɵ) + i sen 2 (Ɵ)] * r [cos 2(Ɵ) + i sen 2 (Ɵ)] = r³[cos 3(Ɵ) + i sen 3 (Ɵ)].

    El teorema se puede usar también para poder encontrar expresiones exactas para la n-ésima raíz de un número complejo z. En donde z n = 1-.

    ¿Cómo demostrar el teorema de Moivre?

    La demostración del teorema de Moivre se hace empleando el principio de inducción matemática. En el cual un número entero “a” tiene una propiedad “P” y los números enteros que sean mayores o iguales “a” tendrán la propiedad de “P”.

    Para realizar la demostración se aplica en siguiente proceso:

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    Para la base inductiva

    Lo primero que se debe hacer es comprobar n = 1, para ello se aplica la siguiente fórmula:

    z1=(r(cos Ɵ + i*sen Ɵ))1=r1(cos Ɵ+i*sen Ɵ)1=r1[cos (1* Ɵ) + i sen (1* Ɵ)],

    Cuando el resultado es n = 1 el teorema se cumple.

    Por inducción

    Para esta comprobación se debe hacer lo siguiente:

    Cuando se presume que la fórmula es verdadera para un entero positivo, lo que significa que n = k.

    zk=(r(cos Ɵ+i*sen Ɵ))k=rk(cos k Ɵ+i*sen k Ɵ). Entonces se realiza la comprobación para n=k + 1.

    zk+1=zk*z, esto significa que zk+1=(r(cos Ɵ +i * sen Ɵ))k+1=rk (cos kƟ + i * sen kƟ) * r (cos Ɵ + i* senƟ). Después se multiplican las expresiones:

    zk+1=rk+1((coskƟ) * (cosƟ) + (coskƟ) * (i*senƟ) + (i * sen kƟ)*(cosƟ) + (i * sen kƟ)*(i* senƟ)).

    Se ignora por un momento el factor rk+1, y se extrae el factor común i utilizando la siguiente fórmula:

    (cos kƟ)*(cosƟ) + i(cos kƟ) * (senƟ)+i( sen kƟ) * (cosƟ) +i2( sen kƟ)*(senƟ).

    Como i2 = -1, se sustituye en la expresión para obtener:

    (cos kƟ)*(cosƟ)+i(cos kƟ)*(senƟ) + i( sen kƟ) * (cosƟ) – ( sen kƟ) * (senƟ).

    Lo siguiente que se debe hacer es ordenar la parte real y la parte imaginaria, que se debe hacer con:

    (cos kƟ) * (cosƟ)–( sen kƟ) * (senƟ)+i[( sen kƟ)*(cosƟ)+(cos kƟ)*(senƟ)].

    Para un entero negativo

    El teorema de Moivre se puede aplicar también cuando n ≤ 0. El entero negativo “n”; se puede escribirse como “-m”, lo que significa que n=-m, donde “m” es un entero positivo. Para ello se utiliza: (cos Ɵ + i * sen Ɵ)n = (cos Ɵ + i * sen Ɵ) –m

    Para obtener de forma positiva el exponente “m”, la expresión debe escribirse de manera inversa:

    (cosƟ+i*sen Ɵ)n=1÷ (cos Ɵ+i*sen Ɵ)m

    (cosƟ+i*sen Ɵ)n =1÷(cos mƟ + i * sen mƟ)

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