Teorema de la probabilidad total

El Teorema de la probabilidad total o posibilidad, nos facilita calcular la posibilidad de un hecho desde posibilidades condicionadas:
Ejemplo: supongamos que si llueve la posibilidad de que ocurra un accidentes es x% y si hace buen tiempo esa posibilidad es y%. Este teorema nos facilita deducir cuál es la posibilidad de que ocurra un incidente si conocemos la posibilidad de que llueva y la posibilidad de que lleve a cabo buen tiempo.
La fórmula para calcular esta posibilidad es:
Es decir, la posibilidad de que ocurra el hecho B (en nuestro ejemplo, que ocurra un accidente) es igual a la suma de multiplicar todas las posibilidades condicionadas de este hecho con los distintos hechos A (probabilidad de un incidente cuando llueve y cuando hace buen tiempo) por la posibilidad de cada hecho A.
Para que este teorema se logre utilizar es necesario cumplir un requisito:
Los hechos A tienen que conformar un sistema terminado, con esto queremos decir que contemplan todas las opciones (la suma de sus posibilidades debe ser el 100%).
Ejemplo: al tirar una moneda, el hecho "salir cara" y el hecho "salir cruz" forman un sistema terminado, no hay más alternativas: la suma de sus posibilidades es el 100%
Ejemplo: al tirar un dado, que salga el 1, el 2, el 3, o el 4 no forman un sistema terminado, puesto que no contempla todas las configuraciones (podría salir el 5 o el 6). En esta situación no se podría utilizar el teorema de la posibilidad total.
Ejercicio 1º: En un saquito hay papeletas de tres colores, con las siguientes posibilidades de ser elegidas:
a) Amarilla: posibilidad del 50%.
b) Verde: posibilidad del 30%
c) Roja: posibilidad del 20%.
Según el color de la papeleta elegida, tendrás la posibilidad de formar parte en diferentes sorteos. De esta forma, si la papeleta elegida es:
a) Amarilla: participas en un sorteo con una posibilidad de ganar del 40%.
b) Verde: participas en otro sorteo con una posibilidad de ganar del 60%
c) Roja: participas en un tercer sorteo con una posibilidad de ganar del 80%.
Con esta información, ¿qué posibilidad tienes de ganar el sorteo en el que participes?:
1.- Las tres papeletas forman un sistema completo: sus posibilidades suman 100%
2.- Aplicamos la fórmula:
Después,
P (B) = (0,50 * 0,40) + (0,30 * 0,60) + (0,20 * 0,80) = 0,54
Por consiguiente, la posibilidad de que ganes el sorteo es del 54%.
Ejercicio 2º: Van a cambiar a tu jefe y se barajan distintos candidatos:
a) Carlos, con una posibilidad del 60%
b) Juan, con una posibilidad del 30%
c) Luis, con una posibilidad del 10%
En funcionalidad de quien sea tu próximo jefe, la posibilidad de que te suban el sueldo es la siguiente:
a) Si sale Carlos: la posibilidad de que te suban el sueldo es del 5%.
b) Si sale Juan: la posibilidad de que te suban el sueldo es del 20%.
c) Si sale Luis: la posibilidad de que te suban el sueldo es del 60%.
Al fin y al cabo, ¿cuál es la posibilidad de que te suban el sueldo?:
1.- Los tres candidatos forman un sistema terminado
2.- Aplicamos la fórmula:
P (B) = (0,60 * 0,05) + (0,30 * 0,20) + (0,10 * 0,60) = 0,15
Por consiguiente, la posibilidad de que te suban el sueldo es del 15%. Lo llevas claro amigo, más te vale que te saques un numero de seguridad social issste y aspirar a una digna pensión antes de que el Jefe de este ejemplo, te suba algo el sueldo jaja...
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