Teorema de la probabilidad total

El Teorema de la probabilidad total o posibilidad, nos facilita calcular la posibilidad de un hecho desde posibilidades condicionadas:

Ejemplo: supongamos que si llueve la posibilidad de que ocurra un accidentes es x% y si hace buen tiempo esa posibilidad es y%. Este teorema nos facilita deducir cuál es la posibilidad de que ocurra un incidente si conocemos la posibilidad de que llueva y la posibilidad de que lleve a cabo buen tiempo.

La fórmula para calcular esta posibilidad es:

Es decir, la posibilidad de que ocurra el hecho B (en nuestro ejemplo, que ocurra un accidente) es igual a la suma de multiplicar todas las posibilidades condicionadas de este hecho con los distintos hechos A (probabilidad de un incidente cuando llueve y cuando hace buen tiempo) por la posibilidad de cada hecho A.

Para que este teorema se logre utilizar es necesario cumplir un requisito:

Los hechos A tienen que conformar un sistema terminado, con esto queremos decir que contemplan todas las opciones (la suma de sus posibilidades debe ser el 100%).

Ejemplo: al tirar una moneda, el hecho "salir cara" y el hecho "salir cruz" forman un sistema terminado, no hay más alternativas: la suma de sus posibilidades es el 100%

Ejemplo: al tirar un dado, que salga el 1, el 2, el 3, o el 4 no forman un sistema terminado, puesto que no contempla todas las configuraciones (podría salir el 5 o el 6). En esta situación no se podría utilizar el teorema de la posibilidad total.

Ejercicio 1º: En un saquito hay papeletas de tres colores, con las siguientes posibilidades de ser elegidas:

a) Amarilla: posibilidad del 50%.

b) Verde: posibilidad del 30%

c) Roja: posibilidad del 20%.

Según el color de la papeleta elegida, tendrás la posibilidad de formar parte en diferentes sorteos. De esta forma, si la papeleta elegida es:

a) Amarilla: participas en un sorteo con una posibilidad de ganar del 40%.

b) Verde: participas en otro sorteo con una posibilidad de ganar del 60%

c) Roja: participas en un tercer sorteo con una posibilidad de ganar del 80%.

Con esta información, ¿qué posibilidad tienes de ganar el sorteo en el que participes?:

1.- Las tres papeletas forman un sistema completo: sus posibilidades suman 100%

2.- Aplicamos la fórmula:

Después,

P (B) = (0,50 * 0,40) + (0,30 * 0,60) + (0,20 * 0,80) = 0,54

Por consiguiente, la posibilidad de que ganes el sorteo es del 54%.

Ejercicio 2º: Van a cambiar a tu jefe y se barajan distintos candidatos:

a) Carlos, con una posibilidad del 60%

b) Juan, con una posibilidad del 30%

c) Luis, con una posibilidad del 10%

En funcionalidad de quien sea tu próximo jefe, la posibilidad de que te suban el sueldo es la siguiente:

a) Si sale Carlos: la posibilidad de que te suban el sueldo es del 5%.

b) Si sale Juan: la posibilidad de que te suban el sueldo es del 20%.

c) Si sale Luis: la posibilidad de que te suban el sueldo es del 60%.

Al fin y al cabo, ¿cuál es la posibilidad de que te suban el sueldo?:

1.- Los tres candidatos forman un sistema terminado

2.- Aplicamos la fórmula:

P (B) = (0,60 * 0,05) + (0,30 * 0,20) + (0,10 * 0,60) = 0,15

Por consiguiente, la posibilidad de que te suban el sueldo es del 15%. Lo llevas claro amigo, más te vale que te saques un numero de seguridad social issste y aspirar a una digna pensión antes de que el Jefe de este ejemplo, te suba algo el sueldo jaja...