Teorema de Gauss para factorizar polinomios

teorema de gauss

A continuación, desde MisTeoremas, te vamos a explicar cómo aplicar el teorema de Gauss para factorizar un polinomio en factores. Este teorema tiene que ser combinado con el teorema del resto y con las propiedades de las raíces para obtener la descomposición del polinomio.

Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:

Sólo tienes que dejarte asesorar por mí vas a ver como tu nota y tu momento de libertad subirán como la espuma.

Además si hay algún criterio sobre polinomios que no entiendas, los tienes todos explicados desde el inicio en el Curso de Polinomios. únicamente debes ir aprendiendo cada asignatura y sin ofrecerte cuenta, vas a ir entendiéndolo todo. Además, me puedes preguntar algún duda siempre que desees, una vez estés suscrito.

Tabla de Contenido

    Teorema de Gauss

    El teorema de Gauss nos comunica que las probables raíces de un polinomio se consiguen por medio de del cociente entre los divisores del término sin dependencia y los divisores del coeficiente primordial (coeficiente del término de más grande grado).

    Entre otras cosas, imaginemos que poseemos un polinomio de nivel 4:

    1 5

    Sus probables raíces serían todos los cocientes de cada divisor de el coeficiente e y cada divisor del coeficiente a:

    2 4

    Deberíamos ir llevando a cabo los cocientes de todas las composiciones de todos los divisores del término sin dependencia entre cada divisor del coeficiente primordial.

    Para calcular cuáles de estas probables raíces corresponden a las raíces del polinomio, aplicamos el teorema del resto, es decir, van a ser raíces aquellas que hagan que el valor del polinomio sea cero.

    Interesante:  Teorema de Norton

    Una vez conseguidas las raíces, el polinomio lo tenemos la posibilidad de expresar como:

    3 1

    Donde a es el coeficiente primordial y los distintos x1, x2, x3… son las raíces del polinomio. Te recuerdo que el número de raíces de un polinomio coincide con el nivel de ese polinomio.

    Ejercicio resuelto del teorema de Gauss para descomponer polinomios

    Veremos todo lo mencionado con un caso de muestra para que lo asimiles mejor: utilizar el teorema de Gauss para descomponer el siguiente polinomio:

    4

    Antes que nada, vamos a simplificar todos los términos del polinomio, dividiéndolos entre 3, para simplificar todo el procedimiento:

    5

    Lo hacemos de esta forma porque al tener como coeficiente primordial un 1, las probables raíces coincidirán con los divisores del término sin dependencia y no deberemos estar mezclando los dos divisores para hallar las raíces. De esta manera, el número probables raíces se disminuye considerablemente.

    Los divisores primo del término sin dependencia, que en esta situación es 24 son:

    6

    Pero no se debe olvidar, que además poseemos divisores compuestos, como son:

    7

    Para corroborar, cuales de estas probables raíces corresponden a las raíces del polinomio, no nos queda más remedio que ir aplicando el teorema del resto, comprobando cuáles de ellas provoca que el valor del polinomio sea 0.

    Como el polinomio es de nivel 4, debemos hallar 4 raíces de entre todas las probables.

    Comenzamos por los divisores más chicos, puesto que las operaciones son menos complicados. Comenzamos comprobando el valor del polinomio con el 1:

    8

    El valor del polinomio es igual a 0, por lo cual 1 es raíz del polinomio:

    9

    Seguimos con -1:

    Interesante:  Teorema de Lagrange o del valor medio

    10

    El valor del polinomio es distinto de cero, por lo cual -1 no es una raíz del polinomio:

    11

    Seguimos con 2:

    12

    El valor del polinomio es igual a -24, distinto de cero, por lo cual 2 no es una raíz del polinomio:

    60

    Seguimos con -2:

    61

    El valor del polinomio con x=-2 es igual a 0, por lo cual -2 es la segunda raíz del polinomio.

    62

    Nos quedan otras dos raíces.

    Probamos con el 3:

    63

    El valor del polinomio es 0, por consiguiente x=3 es otra raíz del polinomio:

    65

    Ya hemos encontrado tres raíces. Sólo nos queda una más.

    Seguimos probando con x=-3:

    66

    El valor del polinomio con x=-3 es diferente 0, por lo cual -3 tampoco es raíz del polinomio:

    descomposicion polinomios 67

    Seguimos con 4:

    descomposicion polinomios 68

    El valor del polinomio no es 0 con x=4, por consiguiente, 4 no es raíz del polinomio:

    descomposicion polinomios 69

    Probamos con x=-4:

    descomposicion polinomios 70

    El valor del polinomio xon x=-4 es 0. Por consiguiente x=-4 es otra raíz del polinomio:

    descomposicion polinomios 71

    Y con esta raíz ya llevamos las 4 raíces que estábamos intentando encontrar, que son éstas:

    descomposicion polinomios 72

    Según el procedimiento de Gauss para factorizar polinomios el polinomio descompuesto tiene esta forma:

    descomposicion polinomios 51

    Por lo cual debemos sustituir el valor de a y de las raíces por sus valores:

    descomposicion polinomios 74

    Al final operamos y nos queda:

    descomposicion polinomios 75

    Como ves, descomponer polinomios por medio de el teorema de Gauss es ir probando con diferentes probables raíces hasta ir encontrándolas una a una, por lo cual no tiene que ver con un procedimiento directo de descomposición de polinomios. Es por el momento menos directo que el procedimiento de Ruffini, puesto que con este procedimiento, acorde vamos continuando, vamos descartando más opciones.

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