Teorema de existencia

TEOREMA DE EXISTENCIA

El teorema de existencia es un planteamiento teórico que asevera ser la base fundamental de las matemáticas como ciencia. Justifica la implementación de distintas teorías a las matemáticas para hacer de la aplicación de esta, un proceso más sencillo.

Se enfoca principalmente en las ecuaciones, operaciones que desde sus orígenes eran estudiadas como método resolutivo simple de ciertos problemas. No obstante, el principal obstáculo era que no se encontraban dentro de las matemáticas propiamente.

Para entender mejor la influencia de las igualdades matemáticas representadas en expresiones, se recomienda continuar leyendo.

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Tabla de Contenido
  1. ¿Qué es el teorema de existencia?
    1. Características del teorema de existencia
  2. Usos del teorema de existencia
  3. Condiciones o criterios para que se cumpla el teorema de existencia
  4. Importancia del teorema de existencia

¿Qué es el teorema de existencia?

La definición del teorema de existencia plantea que es un teorema que busca probar la existencia de una o más entidades. Plantea los criterios básicos para determinar una posible solución a estas entidades, sin definir cuántas ni cómo demostrarlas.

Algo muy común para incontables matemáticos, ha sido fallar en los intentos de encontrar una solución definitiva a una determinada ecuación diferencial. Hecho que impulsa a la búsqueda de soluciones a través de métodos alternativos para afrontar esta realidad.

El principio básico de este teorema gira en torno al cumplimiento con las cláusulas iniciales establecidas por dicha ecuación a resolver.

Desde el momento de su aparición, el teorema de existencia acumuló gran relevancia dentro de las ciencias matemáticas. Esto debido a la rareza que utiliza el teorema, fundamentándose dentro de los cuantificadores existenciales.

Actualmente y de forma generalizada, se afirma que este planteamiento busca dar por sentado que todos los problemas de una gama poseen solución. Es decir, no se busca el valor de una variable sino los criterios para inferir si hay una solución o no.

Además, se dedica especial énfasis a determinar si esa posible solución es aplicable para resolver otros problemas. Los casos para este tipo de teorema suelen ser enunciados como: “existen (n)…, o más generalmente para todo x, y, …existe (n)”.

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La ciencia matemática describe este teorema como una función dada f: X = Y, donde debe ser continua el área limitante del plano x-y.

Características del teorema de existencia

El teorema de existencia siempre partirá de un problema de valor inicial matemático  que modelará una situación física con solución. Se espera que algo suceda y por lo tanto también se estima la posible resolución.

Por lo tanto, cuando se parte de un problema de valor inicial para referirse a esta teoría, se extraen sus características:

  • Existencia: viene dada por la interrogante de, ¿habrá solución al problema planteado?
  • Unicidad: En el supuesto de que exista la solución, ¿Será única a este escenario?
  • Determinación: en el supuesto de que exista solución, ¿cómo podría determinarse?

Usos del teorema de existencia

Cuando se habla del teorema de existencia dentro de las matemáticas, se hace mención a sus aportes para estudiar problemas matemáticos y cálculos. Siendo de los más citados al momento en que se aplica para resolver principalmente ecuaciones u operaciones que partan de esta base.

Es una solución muy efectiva para los problemas que son muy complejos de responder. Siendo un punto de pausa para reflexionar acerca de si tendrá solución o no, para así continuar.

También cobra relevancia cuando se emplea en aplicaciones representativas de un modelo matemático determinista o situaciones que involucran física, con una solución existente. Cabe mencionar también una práctica común para este planteamiento como principal herramienta para resolver casi cualquier polinomio.

En ese orden de ideas, el teorema de existencia ha sentado las bases para resolver eficientemente distintas ecuaciones diferenciales. La mayoría se conoce como un tipo de ecuación matemática representada por la relación entre una función con sus derivadas.

Condiciones o criterios para que se cumpla el teorema de existencia

Como todo en las ciencias, debe existir una serie de condiciones o criterios para que sea válida la aplicación de este teorema.

Resulta que desde principios del siglo XX se mantiene presente un debate que involucra directamente a los teoremas de existencia puros. La controversia existe en las razones y cuestionamientos que señalan si deben ser aceptados o no estos teoremas.

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El argumento principal en contra, es que son una traición directa a las responsabilidades de aplicación dentro de la ciencia matemática.

La primera conclusión que se obtiene de sus criterios parte de un especial énfasis porque los problemas se caracterizan por poseer una solución. Es indispensable que sea argumentada y única entre todas las posibles respuestas o soluciones.

Además, para poder hacer uso del teorema de existencia, debe utilizarse en casos de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Como tendrá una solución única, cuando se repita el problema o ejercicio inicial bajo las mismas condiciones, el resultado será el mismo. Facilitando el proceso y mejorando la realización de ecuaciones más complejas.

Importancia del teorema de existencia

En lo que respecta a ecuaciones diferenciales ordinarias, este es uno de los teoremas más importantes para emplear. Principalmente porque cuando se parte de un problema de Cauchy (problema de valor inicial), el teorema resulta ideal para solucionar todo.

Como ya se mencionó en puntos anteriores, las características de este teorema se determinan por la solubilidad y unicidad. Dando por hecho la plena existencia de una solución concreta a las interrogantes matemáticas planteadas.

Los problemas de Cauchy son problemas que se forman a partir de dos elementos de gran importancia. El primero de ellos es la ecuación diferencial ordinaria y otro una condición inicial.

Es a través de este planteamiento que se pueden resolver ecuaciones del tipo anteriormente mencionado cuando una de las variables adquieren valor. Siendo esta la principal causa que permite obtener las condiciones del sistema desde el inicio.

Ya cuando se habla del problema de Cauchy en ecuaciones diferenciales ordinarias se produce algo interesante. El conjunto de valores iniciales ya será conocido y éstos determinarán con la unicidad las bases de la solución para la ecuación.

Para los casos de ecuaciones diferenciales lineales, es usual que se asegure la existencia y unicidad de la solución. Siempre que las funciones definidas en el problema sean tomadas como diferenciables con continuidad para cumplir con el teorema de existencia.

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