¿Qué es y cómo funciona el teorema de Euler?

El teorema de Euler es visto como una generalización del teorema de Fermat. Euler sostiene con su teorema que es posible la divisibilidad de los números enteros.

En base a ello postulan los dos enunciados siguientes:

  • Son a y n números primos relativos y n puede dividir al número entero aφ(n)- 1.
  • Se entiende que a y n son números enteros primos relativos, por lo que aφ(n) ≡ 1 (mod n).

Ambas formas expresan el funcionamiento del teorema que se representa con φ(n). Con esto puede determinarse el tamaño del grupo multiplicativo de enteros en el módulo de n.

Tabla de Contenido
  1. Congruencia en el teorema de Euler
  2. Teorema de Fermat
  3. Explicación fácil en vídeo

Congruencia en el teorema de Euler

Esta terminología expresa que 2 números enteros tienen el mismo residuo cuando se dividen por un número natural. Dicho número siempre debe ser diferente a 0, llamándose módulo y presentándose el enunciado de esta forma:

  • a≡b (mod m).

Esta representación se puede entender como que a es congruente con b módulo m. Además, puede representarse así:

  • a mod m ≡ b mod m: el resto de a entre m corresponde al resto de b entre m.
  • m|a – b: divide de forma exacta a la diferencia de a menos b.
  • ∃k∈Z a=b+km: a puede escribirse como la suma de b y un múltiplo de m.

La congruencia en el teorema de Euler puede aplicarse en 2 sentidos, siendo primero en el teorema de Fermat. Allí se aplica la identidad matemática de:

  • Para cada número primo (p) y cada entero (a) que no es divisible por un primo, se da esta congruencia: ap-1≡1 (mod p).
Interesante:  Raíz cuadrada de 16

En el sentido de ecuación, se da presencia de una o varias incógnitas, cuestionando si la congruencia puede solucionarse. De ser respuesta afirmativa, se pasa a buscar todas las soluciones posibles que existan.

De esta manera se puede mostrar su funcionalidad en los distintos casos matemáticos en los que puede ser aplicado. Además, contiene formas de comprobación en los niveles matemáticos que se han podido demostrar a lo largo de su historia.

Teorema de Fermat

Para poder comprender el teorema de Euler, se tiene que conocer el teorema de Fermat. Dicho teorema es uno de los más clásicos pertenecientes a la teoría de los números y relacionado con la divisibilidad.

Su enunciado sostiene que p como número primo, se muestra para cada número natural a, mostrándose:

  • a>0, mostrándose la congruencia ap≡a (mod p).

A su vez, se puede definir a p como un número primo para cada número natural a, viéndose:

  • a>0, siendo coprimo con p para dar la congruencia ap-1≡1 (mod p).

Entonces, un número elevado a la p-ésima potencia y dividido su resultado por a, el resto es divisible por p. Distinto al teorema de Euler, el de Fermat ha sido usado en la criptografía asimétrica.

Aunque ambos casos tienen su funcionalidad, es más usado el de Euler para distintas ciencias de manera cotidiana. Desde que se formuló, ha demostrado su funcionalidad y adaptación para cálculos y encriptados de distintos tipos.

Explicación fácil en vídeo

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