Teorema de Euclides

Las propiedades que tienen un triángulo rectángulo al hacer una línea que lo divide en dos se pueden demostrar con el teorema de Euclides. Esto hace que se tengan dos nuevos triángulos rectángulos que son similares entre sí y a la vez similar al triángulo original, esto permite demostrar que existe una relación de proporcionalidad.

Este teorema permite demostrar de forma sencilla las relaciones geométricas que existen en un triángulo rectángulo. Donde los catetos del triángulo se encuentran relacionados con sus proyecciones en la hipotenusa.

Tabla de Contenido
  1. ¿Quién era Euclides?
    1. Obra de Euclides
  2. ¿Qué explica el teorema de Euclides?
    1. Teorema de alturas
    2. Teorema de los catetos
  3. ¿Cuál es la relación entre los teoremas de Euclides?

¿Quién era Euclides?

Euclides fue uno de los más grandes matemáticos que hubo en la edad antigua, nació en la ciudad de Alejandría, en Egipto. Esto fue por el año 325 a. C. y murió en el año 265 a. C., lo que se sabe sobre su vida es poco.

Pero se sabe que la mayor parte de su vida la dedicó a la enseñanza de la matemática en Alejandría, donde fundó una escuela. Lo que también se conoce es que era un hombre justo, de buen carácter, que le gustaba enseñar matemática. Además estaba dispuestos a dar a conocer todo lo que sabía sobre  las matemáticas.

Su formación la realizó en la academia de Platón, por lo que su influencia fue muy importante en todo lo que desarrolló. Esto es lo que permite entender todo lo que hizo y el legado que dejó sobre la matemática.

Obra de Euclides

Teorema de Euclides explicacion

La obra más importante y conocida de Euclides son “Los Elementos”, la cual se encuentra dividida en 13 capítulos o libros. Los primeros seis libros tratan específicamente sobre la geometría plana, por ejemplo en el libro I se encuentra: el teorema de Pitágoras, figuras equivalentes y paralelogramos, rectas paralelas y el teorema sobre congruencia.

Es en este libro donde Euclides planteó cinco postulados, los cuales sólo se aplican a la geometría. También plantea cinco nociones comunes las cuales se aplican a todas las ciencias y son llamadas Proculus axiomas.

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Los libros del siete al nueve tratan sobre teoría de números, el libro diez trata sobre inconmensurables y los últimos tres libros tratan sobre la geometría de los sólidos. En la obra “los Elementos” Euclides recopila, ordena y plantea sus conocimientos geométricos.

Los libros que conforman la obra “Los Elementos” fueron muy importantes para poder establecer el conocimiento que Euclides trataba de transmitir sobre las matemáticas. Porque para él esta era un área muy importante y que iba a tener una gran relevancia en otras áreas.

Estos libros en la actualidad continúan estando vigentes, sólo se le han hecho algunos cambios para irlos adecuando en el tiempo. Es en uno de los libros que conforman la obra “Los Elementos” que se encuentra el teorema de Euclides, el cual está considerado como uno de los más importantes y que aún sigue vigente.

Euclides también escribió otras obras como fue: “Los Datos” la cual trata sobre la resolución de problemas, donde se presentan elementos de la figura y se determinan otros. La otras obres es Los Porismos que se encuentra pérdida, pero  se cree trata sobre las proposiciones transversales y los Lugares Geométricos.

¿Qué explica el teorema de Euclides?

Este teorema explica que en todo triángulo rectángulo, cuando se traza una recta se forman dos triángulos rectángulos a partir del original. Esta recta representa la altura perteneciente al vértice del ángulo recto de acuerdo con la hipotenusa.

Los triángulos que se obtienen son similares entre sí y también son parecidos al triángulo original. Esto significa que los lados similares son proporcionales entre sí, entonces:

El triángulo original y los resultantes de la división tienen ángulos congruentes  que cuando son rotados a 180 grados sobre su vértice, concuerda un ángulo sobre el otro. Lo que implica que todos los ángulos serán iguales.

Esto también permite comprobar la semejanza que hay entre los tres triángulos, debido a la igualdad de sus ángulos. A partir de estas semejanzas es que Euclides establece sus proporciones, lo cual plantea en dos teoremas que tienen una extensa aplicación.

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Los cuales en la antigüedad eran usados para el cálculo de distancias y alturas lo que significó un gran avance para la trigonometría. En la actualidad este teorema es aplicado en diferentes áreas relacionadas con la matemática, entre ellas están la química, física, ingeniería, y astronomía. Los teoremas que planteó son los siguientes:

Teorema de alturas

Este teorema establece que en todo triángulo rectángulo, la altura que se traza a partir de un ángulo recto es media proporcional geométrica con relación a la hipotenusa. Lo que significa que la altura al cuadrado es igual al producto de multiplicar los catetos proyectados que conforman la hipotenusa:

Para determinar esto de aplica la siguiente fórmula: hc2 = m * n

Teorema de los catetos

Este teorema establece que en cualquier triángulo rectángulo la medida de los catetos al cuadrado será la media proporcional geométrica. Lo cual será entre la medida de la hipotenusa completa y la proyección sobre ella, para lo cual se aplica la siguiente fórmula:

b2 = c * y a2 = c* n

¿Cuál es la relación entre los teoremas de Euclides?

La relación entre los teoremas de los catetos y la altura es que para obtener la medida de los dos se tiene que  hacer de acuerdo con la hipotenusa del triángulo rectángulo. Esta relación permite que se pueda hallar el valor de la altura.

Lo cual se puede hacer despejando del teorema de los catetos los valores de m y n, que después se reemplazan en el teorema de la altura. Esto es lo que permite que se cumpla el enunciado donde se establece que la altura es igual a la multiplicación de los catetos y divididos entre la hipotenusa.

Para realizar este cálculo hay que aplicar la fórmula: b2 = c*m,  m = b2 ÷ c, a2 = c * n, n =a2 ÷ c

Para el teorema de la altura se reemplaza m y n: hc2 = m*n,  hc2 = (b2 ÷ c) * (a2 ÷ c), hc = (b2 * a2) ÷ c

 

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