Desigualdad del teorema de Chebyshev - Qué es, definición y concepto

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El conocido teorema de Chebyshev consiste en una teoría probabilística con mucha aplicación y utilidad dentro del campo matemático. De hecho, es de los resultados clásicos que más importancia ha tenido dentro de la teoría de la probabilidad.

Su uso y aplicaciones consisten en determinar la probabilidad de un evento descrito en términos de una varianza indefinida X. Esto gracias a que provee una cota que no es dependiente de la distribución de la variable aleatoria, sino de la variable X.

Si te interesa la dispersión de datos, este tema es para ti.

Tabla de Contenido
  1. ¿Qué es el Teorema de Chebyshev?
    1. Valores de confianza
  2. Características más relevantes del Teorema de Chebyshev
  3. ¿Qué tan dispersas son las mediciones del Teorema de Chebyshev?
  4. Fórmula del Teorema de Chebyshev
  5. Ejemplo de aplicación del teorema de Chebyshev

¿Qué es el Teorema de Chebyshev?

También conocido como la desigualdad de Chebyshov, el teorema de Chebyshev busca explicar que 1-1/k2 de datos deben encajar en K. Esto son las desviaciones estándar bajo el estándar de la media, siendo el resultado de K un número real positivo mayo a uno.

La propagación de datos es una de las características más importantes dentro de una distribución de datos en forma de campana. Su principal aplicación consiste en establecer la relación con el número de desviación estándar a la media.

Si se toma una distribución normal, al menos un 68% de los datos serán igual a una desviación estándar a la media. Mientras que un 95% serán desviaciones de la media y el 99% se establecerán dentro de tres desviaciones estándar de la media.

No obstante, en los casos en que un conjunto de datos no se distribuye correctamente (forma de campana) hay una cantidad diferente. Para solucionar el problema de la desviación estándar, el Teorema de Chebyshev logra calcular la fracción de datos de las desviaciones estándar K.

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Valores de confianza

La regla 68-95-99.7 es una de las primeras nociones estadísticas que logra determinar la distribución aproximada de una variable. Establece una noción general en donde:

  • 68% de los valores serán incluidos dentro de la desviación estándar de la media.
  • 95% de los valores caerán dentro de dos desviaciones estándar.
  • 7 es una cifra dependiente de las tres desviaciones estándar.
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Los valores anteriores responden al teorema del límite central y son muy útiles para calcular la distribución de datos relativamente normales. Sin embargo, hay circunstancias que responden a una distribución más pesada y ocasiona que los números 68-95-99.7 sean inexactos.

Es aquí donde cobra importancia contar con una solución cuando se trabaja con distribuciones de probabilidad totalmente desconocidas.

Características más relevantes del Teorema de Chebyshev

Usualmente se hace referencia a la desigualdad bajo la frase “datos de una muestra” dentro de una distribución de probabilidad. Lo anterior se debe a que el teorema de Chebyshev se calcula como resultado de la probabilidad, luego de aplicar los cálculos estadísticos.

Cabe mencionar que el teorema de Chebyshev es un resultado y operación matemática que se ha demostrado a nivel científico. Dando validez a cualquier de sus aplicaciones correctas para la interpretación de las distribuciones más complejas.

¿Qué tan dispersas son las mediciones del Teorema de Chebyshev?

Para el cálculo de muestra del teorema, suele ser necesario saber qué tan dispersas son las mediciones dentro del rango. La justificación de esto se encuentra en el siguiente ejemplo:

  • Juan ha estado registrado todos sus gastos para desayunar, en promedio gasta un equivalente a 20$ por día. No obstante, Juan todavía tiene dudas por conocer si gastó constantemente esta cantidad o tuvo gastos muy grandes que afectan el promedio.

Es aquí donde se pueden aplicar los fundamentos de la probabilidad estándar del Teorema de Chebyshev para medir estadísticamente los gastos. A pesar de que genera rangos amplios entre valores, su utilidad radica en que solo debe conocerse la media y la desviación estándar.

Sin embargo, el ejemplo utilizado es solo una referencia ya que se prefiere usar para casos estadísticos más pesados.

Fórmula del Teorema de Chebyshev

Las investigaciones de este teorema están relacionados con los cálculos de la regla general 68-99-99.7 para distribuciones regulares. Como estos números son representativos de los datos localizados en los límites, se emplea la desigualdad de Chebyshev dentro de los límites.

  • Fórmula: Probabilidad 1 – (1 / k 2)
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Tal fórmula explica que los valores matemáticos menores o iguales a 1 no se consideran para este cálculo estadístico. No obstante, aunque para los más principiantes parezca complejo, establecer la conexión de los valores  de K para 2 y 3 es simple.

El Teorema de Chebyshev establece que como mínimo el 75% de los datos caerán en las 2 desviaciones estándar de la media. Mientras que un 89% de los datos se estima caerán dentro de las 3 desviaciones restantes a la media.

Aunque es una notable solución, está lejos de la precisión que permite el 95% y 99.7% que se usa para una distribución simple. Pero la validez de la desigualdad de Chebyshev es totalmente indiscutible en la actualidad de nuestros días.

Ejemplo de aplicación del teorema de Chebyshev

Bajo la idea de que estamos encargados de la gestión de un fondo de inversión tenemos que:

  • La cartera a cargo de nuestra gestión posee una rentabilidad media del 8,14%.
  • También mantiene una desviación típica del 5,12%.

Nos solicitan calcular el porcentaje de nuestros retornos que encuentran ubicados en mínimo 3 desviaciones típicas de la rentabilidad media. Es aquí donde se debe aplicar la fórmula del teorema conociendo el valor de k= 1,96:

  • Se sustituye el valor de K= 1-(1/(1,96^2)) = 0,739 = 73,9%.

La anterior ejecución muestra que hay un 73,9% de los resultados dentro de los valores de confianza a 1,96 desviaciones típicas de la media.

Otros valores distintos de k para 2 y 3 son;  (k = 2,46) (k = 3):

  • Se sustituye el valor de k: 1-(1/(2,46^2) )= 0,835 = 83,5%
  • Se sustituye el valor de k: 1-(1/(3^2)) = 0,889 = 88,9%

Es así como se comprueba que hay un 83,5% de la totalidad de los datos que se ubican a una distancia de 2,46 desviaciones típicas a la media. Mientras que existe un 88,9% que se localizan a 3 desviaciones típicas a la media dentro del problema en general.

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