Sistemas de ecuaciones NO lineales

En esta página resolvemos dos sistemas de ecuaciones lineales y tres sistemas de ecuaciones no lineales para exhibir la dificultad de estos segundos frente a los primeros.

1. Sistemas de ecuaciones lineales vs no lineales

Hay diferentes procedimientos para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de esta forma como resultados que aceptan clasificarlos según el tipo de resoluciones. Entre otras cosas, los procedimientos básicos para la resolución de ecuaciones de sistemas lineales son los de suplencia, igualación y reducción. Otros procedimientos más avanzados son del álgebra matricial: la supresión de Gauss y la regla de Cramer.

Los sistemas de ecuaciones NO lineales son muy diferentes entre sí, lo cual hace difícil encontrar procedimientos en general que posibiliten su resolución, lo que no supone que no los haya.

Recordad, además, que dado un sistema de ecuaciones lineales, tienen la posibilidad de darse tres casos (teorema de Rouché-Frobenius):

• No es solucionable (sistema incompatible).
• Tiene una exclusiva satisfacción (sistema coincidente determinado).
• Tiene infinitas resoluciones (sistema coincidente indeterminado).

No obstante, un sistema de ecuaciones NO lineales tiene la posibilidad de tener un número finito de resoluciones diferentes (por ejemplo, 2 ó 3 soluciones), como observaremos en alguno de los ejemplos.

Al final, además mencionamos que la satisfacción (o soluciones) de un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes reales son números reales, en tanto que un sistema de ecuaciones no lineales tiene la posibilidad de tener resoluciones complicadas. Además observaremos un caso de muestra de esto.

2. Ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales

Observemos la resolución de unos cuantos sistemas de ecuaciones lineales simples, resueltos por procedimientos básicos.

Sistema 1

Sistema de ecuaciones lineales con 2 incógnitas, xx e yy:

Resolución:

Sumando la segunda ecuación a la primera,

De la primera ecuación debemos x=3x=3 y, sustituyendo en la segunda, debemos y=1y=1. Por consiguiente, la exclusiva satisfacción del sistema es

Gráfica: si representamos ambas ecuaciones, la satisfacción es el punto de su intersección.

Sistema 2

Sistema de ecuaciones lineales con 2 incógnitas, xx e yy:

Resolución:

Este sistema lo resolvemos por suplencia. Despejamos la xx en la segunda ecuación:

Sustituimos en la primera ecuación:

Resolvemos la ecuación obtenida:

Calculamos la otra incógnita:

Por consiguiente, la exclusiva satisfacción del sistema es

3. Ejemplos de sistemas de ecuaciones no lineales

En un sistema de ecuaciones no lineales logramos hallar las incógnitas formando parte de operaciones muy variadas, asi sea multiplicándose entre sí, con exponentes, bajo signos radicales, en denominadores, etc.

Ahora, resolvemos 3 sistemas de esta clase.

Sistema 3

Sistema de ecuaciones NO lineales con 2 incógnitas, xx e yy:

Resolución:

Observad que la primera ecuación no es lineal ya que las incógnitas xx e yy se multiplican entre sí.

Despejamos la xx en la segunda ecuación:

Sustituimos en la primera ecuación:

Poseemos una ecuación de segundo nivel cuyas resoluciones son y=0y=0 e y=3y=3. Sustituimos en la ecuación x=2y/3x=2y/3 para conseguir x=0x=0 y x=2x=2. Por consiguiente, este sistema de ecuaciones tiene dos resoluciones distintas:

Gráfica: si representamos ambas ecuaciones, ambas resoluciones son los puntos de intersección:

Nota: el grupo de puntos xy−2y=0xy−2y=0 (en rojo) está compuesto por dos rectas perpendiculares.

Sistema 4

Sistema de ecuaciones NO lineales con 2 incógnitas, xx e yy:

Resolución:

Observad que ninguna de ambas ecuaciones es lineal ya que la incógnita xx tiene los exponentes 4 y 2.

Despejamos yy en la segunda ecuación:

Sustituimos en la primera ecuación:

Las resoluciones de la ecuación son

Calculamos yy:

Por consiguiente, el sistema tiene 3 soluciones:

Gráfica:

Sistema 5

Sistema de ecuaciones NO lineales con 2 incógnitas, xx e yy:

Resolución:

Observad que ninguna de ambas ecuaciones es lineal: la primera tiene potencias de xx y de yy; la segunda tiene el producto xyxy.

Despejamos la yy en la segunda ecuación:

Sustituimos en la primera ecuación:

Hacemos un cambio de variable t=x2t=x2 para simplificar la ecuación:

Operamos un poco:

Resolvemos la ecuación de segundo grado:

Deshacemos el cambio de variable:

Calculamos yy:

Por consiguiente, el sistema de ecuaciones no lineales tiene 4 resoluciones distintas:

Gráfica:

Nota: las resoluciones reales son los puntos de intersección.