Los números complejos

Objetivos:

1. Identificar las características de un número complejo
2. Simplificar raíces negativas i
3. Simplificar potencias de i
4. Identificar y utilizar las operaciones con números complejos.
5. Simplificar expresiones con números complejos

Primer parte

Six 2 = -1 entonces x =± -1. Esta ecuación no es solucionable en el grupo de los números reales dado que si n en un número par x n ≥ 0 para todo número real. En esta asignatura se empezará el estudio de números no reales que surgen de una raíz par de un número negativo.

Definición de Números Imaginarios Definición: - 1 = i

Comúnmente simplificamos números con raíces negativas para que sean un número real multiplicado por i.

Ejemplos

1. - 16 = 16 × - 1 = 16 i = 4 i
2. - 2 = 2 × - 1 = 2 i Note que la i está fuera del extremista.

Definición

Un número imaginario tiene la forma b i donde b es un número real.

Potencias de i

Para simplificar potencias de i únicamente debemos acordarse que:

• i2 =(-1)2= -1
• (-1)n=1 si n es par.
• (-1)n=-1 si n es impar.

Ejemplos: Expresar los próximos sin una capacidad.

1. i32 = (i2)16 = (-1)16 =1
2. i41 = (i2)20×i = (-1)20×i =1×i =i
3. i23 = (i2)11×i = (-1)11×i =-1×i =-i

Definición de Números Complejos Definición

Un número complejo tiene la forma a+ b i donde a y b son números reales: a se conoce como la parte real y b se conoce como la parte imaginaria.

Ejemplos :

1. 1 + i
2. 3 + 2 i

Para ver números complejos, se utiliza un chato de coordenadas con un eje horizontal para las partes reales y un eje vertical para las partes imaginarias. Cada punto en ese chato llamado el chato complejo se ajusta a un número complejo. Mover el punto z en la siguiente aplicación para ver números complejos:

Este es un Applet de Java desarrollado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no se ve estar instalado Java en el conjunto. Se sugiere dirigirse a www.java.com

Suma y Resta de Complejos

Para agregar dos complejos sólo hay que agregar sus partes reales y sus partes imaginarias

: ( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i

Ejemplos

1. ( 1 + 2 i ) + ( 3 + 4 i ) = ( 1 + 3 ) + ( 2 + 4 ) i = 4 + 6 i
2. ( 1 + 2 i ) + ( 3 - 4 i ) = ( 1 + 3 ) + ( 2 - 4 ) i = 4 - 2 i
3. ( 1 - 2 i ) + ( 3 - 4 i ) = ( 1 + 3 ) + ( -2 - 4 ) i = 4 - 6 i
4. ( -1 + 2 i ) + ( 3 + 4 i ) = ( - 1 + 3 ) + ( 2 + 4 ) i = 2 + 6 i

Para la resta de dos complejos restamos las partes reales y las partes imaginarias ( a + b i ) - ( c + d i ) = ( a - c ) + ( b - d ) i

Ejemplo

1. ( 1 + 2 i ) - ( 3 + 4 i ) = ( 1 - 3 ) + ( 2 - 4 ) i = - 2 - 2 i
2. ( 1 + 2 i ) - ( 3 - 4 i ) = ( 1 - 3 ) + ( 2 + 4 ) i = - 2 + 6 i
3. ( 1 - 2 i ) - ( 3 - 4 i ) = ( 1 - 3 ) + ( - 2 + 4 ) i = - 2 + 2 i
4. ( - 1 + 2 i ) - ( 3 + 4 i ) = ( - 1 - 3 ) + ( 2 - 4 ) i = - 4 - 2 i

Producto de Complejos

El producto de dos números complejos se hace igual que el producto de expresiones binomiales

Ejemplos

1. Hallar el producto: ( 1 + 2 i ) ⋅ ( 3 + 4 i )

   Solución:

   ( 1 + 2 i ) ⋅ ( 3 + 4 i ) = 1⋅ ( 3 + 4 i ) + 2i⋅ ( 3 + 4 i ) = 3 + 4 i + 6 i + 8 i 2 = 3 + 10 i + 8 ( -1 ) = - 5 + 10 i

2. Hallar el producto: ( 2 + i ) ⋅ ( 2 + 5 i )

   Solución:

   ( 2 + i ) ⋅ ( 2 + 5 i ) = 2⋅ ( 2 + 5 i ) + i⋅ ( 2 + 5 i ) = 4 + 10 i + 2 i + 5 i 2 = 4 + 12 i + 5 ( -1 ) = - 1 + 12 i

3. Hallar el producto: ( 2 - i ) ⋅ ( 4 + 3 i )

   Solución:

   ( 2 - i ) ⋅ ( 4 + 3 i ) = 2⋅ ( 4 + 3 i ) - i⋅ ( 4 + 3 i ) = 8 + 6 i - 4 i - 3 i 2 = 8 + 2 i - 3 ( -1 ) = 11 - 3 i

Módulo de un Número Complejo.

El valor absoluto o módulo de un número se ajusta a la distancia en el chato complejo entre el punto y el origen del chato.

Ejemplos

1. | 1 + 3 i | = 1 2 + 3 2 = 10
2. | 2 - 3 i | = 2 2 + ( - 3 ) 2 = 13
3. | 4 - 3 i | = 4 2 + ( - 3 ) 2 = 25 = 5

Definición: Argumento: El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el semieje positivo de abcisas , con la semirrecta que une el origen de coordenadas con su afijo. Dado el número z=a+bi, el argumento de z es: θ=tan- 1(ba)

Ejemplos

Calcular el argumento de z de los próximos números complejos:

• 4 + 2 i = → θ =tan- 1(24) → θ = 0.463647609000806
• 5 + 3 i = → θ =tan- 1(35) → θ = 0.53704956699803

Conjugado de un Número Complejo

Para dividir dos números complejos requerimos determinar lo que es el conjugado de un número complejo

Definición

Sea z un número complejo de la forma z = a + b i , vamos a llamar el conjugado de z al número complejo de la forma z ¯ = a + b i ¯ = a - b i

Ejemplos 3 + 4 i ¯ = 3 - 4 i 2 - 5 i ¯ = 2 + 5 i - 3 i ¯ = 3 i - 4 ¯ = - 4

Nota: Multiplicando un número complejo con su conjugado proporciona el módulo cuadrado.

1. ( 3 + 4 i ) ⋅ 3 + 4 i ¯ = 3 2 + 4 2
2. ( 3 - 5 i ) ⋅ 2 - 5 i ¯ = 3 2 + 5 2
3. ( a + b i ) ⋅ a + b i ¯ = a 2 + b 2

División de Complejos

Para el cociente de dos números complejos es necesario ingresar una exclusiva terminología, la cual es de gran ayuda al instante de dividir números complejos, por otro lado iniciemos observando como seria la división de un complejo sobre un real. Para dividir un complejo sobre un real se hace lo siguiente :a + b i r = a r + b r i. Observemos el siguiente ejemplo:

Ejemplo

1. 2 + 3 i 2 = 2 2 + 3 2 i = 1 + 3 2 i

El conjugado nos facilita cambiar dividir por un número complejo a multiplicar por un número complejo y dividir por un número real:

a + b i c + d i = ( a + b i ) ( c + d i ) ¯ ( c + d i ) ( c + d i ) ¯ = ( a + b i ) ( c - d i ) ( c + d i ) ( c - d i ) = ( a c + b d ) + ( b c - a d ) i c 2 + d 2 = ( a c + b d ) c 2 + d 2 + ( b c - a d ) c 2 + d 2 i

Ejemplos

1. 1 + 2 i 3 + 4 i = 1 + 2 i 3 + 4 i · 3 - 4 i 3 - 4 i = ( 1 + 2 i ) ( 3 - 4 i ) ( 3 + 4 i ) ( 3 - 4 i ) = 3 - 4 i + 6 i - 8 i 2 9 - 16 i 2 = 3 - 4 i + 6 i - 8 ( -1 ) 9 - 16 ( -1 ) = 3 + 8 9 + 16 + 6 - 4 9 + 16 i = 11 25 + 2 25 i
2. 3 + i 1 - 6 i = 3 + i 1 - 6 i · 1 + 6 i 1 + 6 i = ( 3 + i ) ( 1 + 6 i ) ( 1 - 6 i ) ( 1 + 6 i ) = 3 + 18 i + i + 6 i 2 1 - 36 i 2 = 3 + 18 i + i + 6 ( -1 ) 1 - 36 ( -1 ) = 3 - 6 1 + 37 + 18 + 1 1 + 37 i = - 3 37 + 19 37 i