Cómo demostrar que π (pi) es irracional

"El diámetro de un círculo no mide a la circunferencia como un entero a un entero."
Johann Heinrich Lambert (1728-1777).

El resultado demostrado por Lambert en 1766 es el siguiente:

Teorema: Si x ≠ 0 es un número racional, entonces tan(x) es irracional.

Observación: El teorema supone la irracionalidad de pi. Como tan(π/4) = 1, entonces π/4 no puede ser racional, dado que en esta situación 1 debería ser un irracional, pero evidentemente no es de esta forma.

Para mostrar este teorema tuvo que apoyarse en los dos resultados siguientes:

Proposición 1: Sea x un número racional. Entonces la tangente de x puede expresarse como parte continua de la siguiente forma:

Proposición 2: Si poseemos una parte continua como la de abajo donde ai, bi son números enteros tales que ai · bi ≠ 0 para todo i ≥ 1;

y si x es el número al que converge la parte previo y xn el número al que converge la parte continua que se obtiene desde la previo suprimiendo ai y bi para i= 1, 2, ..., n-1, y se corrobora que |ai|< |bi| para todo i entonces:

(1) |x|<1
(2) Si xn ≠ ±1 para todo n, entonces x es irracional.